Title: C01 et C03 - Suites et DL

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Une suite convergente est bornée
A: Vrai

Q: Vrai ou Faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Une suite bornée est convergente
A: Faux
Par exemple la suite \((-1)^n\) est bornée mais non convergente.

Q: Vrai ou Faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Si \(\left(u_n)\right)_{n\in\mathbb{N}}\) et \(\left(v_n)\right)_{n\in\mathbb{N}}\) sont deux suites qui convergent vers \(u\) et \(v\) respectivement et que l'on suppose que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[u_n<v_n.\]
Alors \(u<v\)
A: Faux
Les suites définies par \(u_n=\frac{-1}{n}\) et \(v_n=0\) satisfont bien la condition mais leurs limites sont égales.

Q: Vrai ou Faux
[$]n\mathop{\sim}\limits_{n\to+\infty} n+1[/$]
A: Vrai

Q: Vrai ou Faux
[$]n\mathop{\sim}\limits_{n\to + \infty} 4n[/$]
A: Faux, le quotient tend vers [$]4[/$].

Q: Vrai ou Faux
[$]\mathrm{ln}(n)\mathop{\sim}\limits_{n\to + \infty} \mathrm{ln}(4n)[/$]
A: Vrai

Q: Vrai ou Faux
[$]n^2\mathop{\sim}\limits_{n\to + \infty} n^2+n[/$]
A: Vrai

Q: Méthode
Pour trouver un point fixe à l'application \(f\) sur l'intervalle \(\left[a,b\right]\), on applique le théorème ... à la fonction définie par \(g(x)=f(x)-x\) .
Pour cela on doit vérifier que :
[$]\bullet[/$] \(g(a)g(b)<0\)
[$]\bullet[/$] La fonction \(g\) est ...
[$]\bullet[/$] La fonction \(g\) est strictement ...
A: Pour trouver un point fixe à l'application \(f\) sur l'intervalle \(\left[a,b\right],\) on applique le théorème du point fixe à la fonction définie par \(g(x)=f(x)-x\).
Pour cela on doit vérifier que :
[$]\bullet[/$] \(g(a)g(b)<0\)
[$]\bullet[/$] La fonction \(g\) est continue
[$]\bullet[/$] La fonction \(g\) est strictement monotone

Q: Cours
Quelle est la limite de la suite \(\left(q^n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) selon les valeurs de \(q\).
A: La suite \(\left(q^n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) tend vers
\(\bullet\) \(+\infty\) lorsque \(q>1\)
\(\bullet\) \(1\) lorsque \(q=1\)
\(\bullet\) \(0\) lorsque \(-1<q<1\)
\(\bullet\) n'a pas de limite (finie ou infinie) lorsque \(q<-1\).

Q: Cours
Il existe 5 situations de formes indeterminées :
\(+\infty -\infty\), ... , \( \frac{0}{0}\), ... et \(1^1\).
A: \(+\infty -\infty\), \( 0 \times \pm\infty\), \( \frac{0}{0}\), \(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\) et \(1^1\).

Q: Cours
Il existe 5 situations de formes indéterminées
\(+\infty -\infty\), ... , \( \frac{0}{0}\), \(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\) et ... .
A: \(+\infty -\infty\), \( 0 \times \pm\infty\), \( \frac{0}{0}\), \(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\) et \(1^1\).

Q: Cours
Compléter l'énoncé du théorème de la bijection.
Soit \(f : \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction. On suppose que
\(\bullet\) ... .
\(\bullet\) \(f\) est continue sur \(\left[a,b\right]\)
\(\bullet\) \(f\) est strictement monotone sur \(\left[a,b\right]\).
Alors l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans l'intervalle \(\left]a,b\right[\).
A: Soit \(f : \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction. On suppose que
\(\bullet\) \(f\) change de signe entre \(a\) et \(b\) (ce qui s'exprime aussi par \(f(a)f(b)<0\) )
\(\bullet\) \(f\) est continue sur \(\left[a,b\right]\)
\(\bullet\) \(f\) est strictement monotone sur \(\left[a,b\right]\).
Alors l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans l'intervalle \(\left]a,b\right[\).

Q: Cours
Compléter l'énoncé du théorème de la bijection.
Soit \(f : \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction. On suppose que
\(\bullet\) \(f\) change de signe entre \(a\) et \(b\) (ce qui s'exprime aussi par \(f(a)f(b)<0\) )
\(\bullet\) ... .
\(\bullet\) \(f\) est strictement monotone sur \(\left[a,b\right]\).
Alors l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans l'intervalle \(\left]a,b\right[\).
A: Soit \(f : \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction. On suppose que
\(\bullet\) \(f\) change de signe entre \(a\) et \(b\) (ce qui s'exprime aussi par \(f(a)f(b)<0\) )
\(\bullet\) \(f\) est continue sur \(\left[a,b\right]\)
\(\bullet\) \(f\) est strictement monotone sur \(\left[a,b\right]\).
Alors l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans l'intervalle \(\left]a,b\right[\).

Q: Cours
Compléter l'énoncé du théorème de la bijection.
Soit \(f : \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction. On suppose que
\(\bullet\) \(f\) change de signe entre \(a\) et \(b\) (ce qui s'exprime aussi par \(f(a)f(b)<0\) )
\(\bullet\) \(f\) est continue sur \(\left[a,b\right]\)
\(\bullet\) ... .
Alors l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans l'intervalle \(\left]a,b\right[\).
A: Soit \(f : \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction. On suppose que
\(\bullet\) \(f\) change de signe entre \(a\) et \(b\) (ce qui s'exprime aussi par \(f(a)f(b)<0\) )
\(\bullet\) \(f\) est continue sur \(\left[a,b\right]\)
\(\bullet\) \(f\) est strictement monotone sur \(\left[a,b\right]\).
Alors l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans l'intervalle \(\left]a,b\right[\).

Q: Méthode
Pourquoi les points fixes de \(f\) sont-ils importants dans l'étude des suites définies par la relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\) ?
A: Le théorème du point fixe affirme que si une telle suite converge, c'est nécessairement vers un point fixe de \(f\). Les points fixes sont donc les seuls candidats possibles pour les limites de \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\).

Q: Cours
Compléter l'énoncé du théorème de la bijection.
Soit \(f : \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction. On suppose que
\(\bullet\) \(f\) change de signe entre \(a\) et \(b\) (ce qui s'exprime aussi par \(f(a)f(b)<0\) )
\(\bullet\) \(f\) est continue sur \(\left[a,b\right]\)
\(\bullet\) \(f\) est strictement monotone sur \(\left[a,b\right]\).
Alors l'équation ... admet une unique solution dans l'intervalle ... .
A: Soit \(f : \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction. On suppose que
\(\bullet\) \(f\) change de signe entre \(a\) et \(b\) (ce qui s'exprime aussi par \(f(a)f(b)<0\) )
\(\bullet\) \(f\) est continue sur \(\left[a,b\right]\)
\(\bullet\) \(f\) est strictement monotone sur \(\left[a,b\right]\).
Alors l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans l'intervalle \(\left]a,b\right[\).

Q: Cours
Compléter l'énoncé du théorème de la limite monotone.
Une suite ... et majorée converge.
A: Une suite croissante et majorée converge.

Q: Cours
Compléter l'énoncé du théorème de la limite monotone.
Une suite croissante et ... converge.
A: Une suite croissante et majorée converge.

Q: Cours
Donner la définition d'une suite monotone.
A: On dit qu'une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
Une suite croissante vérifie, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n\leqslant u_{n+1}\)
Une suite décroissante vérifie, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}\leqslant u_{n}\)

Q: Cours
Donner la définition d'une suite bornée
A: On dit qu'une suite \(\left(u_n\right)_n\) est bornée s'il existe deux nombres réels \(m\) et \(M\) indépendants de \(n\) tel que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[m\leqslant u_n\leqslant M.\]

Q: Cours
Donner la définition de deux suites adjacentes
A: Deux suites \((u_n)_n\) et \((v_n)_n\) sont dites adjacentes si \((u_n)_n\) est croissante, \((v_n)_n\) est décroissante et \(u_n-v_n\) tend vers 0.

Q: Cours
Énoncer le théorème des suites adjacentes
A: Deux suites adjacentes sont convergentes et ont même limite.

Q: Méthode
On suppose que la suite \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) est définie par la relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\). On sait que l'intervalle \(\left[a,b\right]\) est stable par \(f\).
On peut exploiter de deux manières différentes cet intervalle stable
\(\bullet\) ... .
\(\bullet\) Il permet d'étudier le sens de variation de \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\). En effet, on a
\[u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\]
et pour donner le signe de cette expression, on peut utiliser le fait que \(u_n\in\left[a,b\right]\).
A: \(\bullet\) Il permet de borner \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\). En effet, si \(u_0\in\left[a,b\right]\), alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[u_n\in\left[a,b\right].\]
\(\bullet\) Il permet d'étudier le sens de variation de \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\). En effet, on a
\[u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\]
et pour donner le signe de cette expression, on peut utiliser le fait que \(u_n\in\left[a,b\right]\).

Q: Méthode
On suppose que la suite \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) est définie par la relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\). On sait que l'intervalle \(\left[a,b\right]\) est stable par \(f\).
On peut exploiter de deux manières différentes cet intervalle stable
\(\bullet\) Il permet de borner \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\). En effet, si \(u_0\in\left[a,b\right]\), alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[u_n\in\left[a,b\right].\]
\(\bullet\) ... .
A: \(\bullet\) Il permet de borner \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\). En effet, si \(u_0\in\left[a,b\right]\), alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[u_n\in\left[a,b\right].\]
\(\bullet\) Il permet d'étudier le sens de variation de \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\). En effet, on a
\[u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\]
et pour donner le signe de cette expression, on peut utiliser le fait que \(u_n\in\left[a,b\right]\).

Q: Cours
À l'aide des relations de comparaisons, formuler les théorèmes de croissances comparées.
A: \(\bullet\) Pour tout \(\alpha\) et \(\beta>0\), on a
 [$$]n^\alpha=\petito{n\to+\infty}{e^{n\beta}}.[/$$]
\(\bullet\) Pour tout \(q>0\),
 [$$]q^n=\petito{n\to+\infty}{n!}.[/$$]
\(\bullet\) Pour tout \(\alpha\) et \(\beta>0\), on a
 [$$](\mathrm{ln}(n))^\alpha=\petito{n\to+\infty}{n^\beta}.[/$$]

Q: Cours
Énoncer le théorème des gendarmes.
A: Soit \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\), \(\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) et \(\left(w_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) trois suites telles que, pour tout \( n\in\mathbb{N}\),
\[u_n\leqslant v_n\leqslant w_n.\]
On suppose que \(\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) et \(\left(w_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) convergent vers la même limite finie \(\ell\in \mathbb{R}\).
Alors \(\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\ell\).

Q: Cours
Énoncer l'inégalité des accroissements finis
A: Soit \(f\) une fonction définie et continue sur \(\left[a,b\right]\), dérivable sur \(\left]a,b\right[\). On suppose qu'il existe un réel \(M\) tel que, pour tout \(x\in\left]a,b\right[\), \[\left|f'(x)\right|\leqslant M.\]
Alors, pour tout \(x,y\in\left[a,b\right]\),
\[\left|f(x)-f(y)\right|\leqslant \left|x-y\right|.\]

Q: Programmation
Écrire un programme \(\textsf{Python}\) qui génère le n^ème terme d'une suite récurrente (on suppose que le programme connait la fonction de récurrence \(f\) et le premier terme \(u_0\)).
A: def suite(n) :
          u=u0
          for i range (n):
                  u=f(u)
          return u

Q: Programmation
Écrire un programme \(\textsf{Python}\) de dichotomie pour la recherche d'une solution approchée à l'équation \(f(x)=0\). On suppose que la fonction \(f\) est connue, définie sur \(\left[0,1\right]\) et strictement monotone.
A: import math
def valeurapprochee ( epsilon ) :
     a = 0
     b = 1
     while b - a > epsilon :
          m = ( a + b ) /2
          if f ( m ) == 0:
               return m
          elif f ( a ) * f ( m ) > 0:
                a = m
          else :
               b = m
     return a

Q: Mini exercice
Donner un équivalent puis la limite de la suite définie par
\[u_n=\frac{3n^2+2^n-5^n}{\mathrm{ln}(n)-4n^2+3^n-8}.\]
A: Les équivalents "passent au quotient". On peut donc se contenter de trouver un équivalent du numérateur et du dénominateur. On a
[$$]3n^2+2^n-5^n\dsim_{n\to+\infty}-5^n.[/$$]
(car \(5^n\) domine les autres termes)
et
[$$]\mathrm{ln}(n)-4n^2+3^n-8\dsim_{n\to+\infty}3^n.[/$$]
Au quotient, on a donc
[$$]u_n\dsim_{n\to+\infty}-\left(\frac{5}{3}\right)^n[/$$]
et \(u_n\) tend vers \(-\infty\)

Q: Mini exercice
Donner la limite et un équivalent simple de la suite définie par
\[u_n=\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}.\]
A: On passe à la forme conjuguée
[latex]
\begin{eqnarray*}
u_n & = & \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}\\
 & = & \frac{\left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}\right)\left(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}\right)}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}\\
 & = & \frac{2n+1-2n}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}\\
 & = & \frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}\\
 & \dsim_{n\to +\infty}~ & \frac{1}{2\sqrt{2n}}
\end{eqnarray*}
[/latex]
On conclut que \(u_n\) tend vers 0.

Q: Mini exercice
Donner un équivalent simple, puis la limite de la suite définie par
\[u_n=n\mathrm{ln}\left(1+\frac{2}{n}\right).\]
A: On a
[$$]\mathrm{ln}\left(1+\frac{2}{n}\right)\dsim_{n\to+\infty}\frac{2}{n}[/$$]
et par produit d'équivalents
[$$]u_n\dsim_{n\to+\infty}n\times\frac{2}{n}=2.[/$$]
On conclut que \(u_n\) tend vers 2.

Q: Mini exercice
Donner un exemple de deux fonctions \(f\) et \(g\) telles que
\(\bullet\) \(f\) et \(g\) sont équivalentes en 1.
\(\bullet \) \(f\) est négligeable devant \(g\) en 0.
\(\bullet \) \(g\) est négligeable devant \(f\) en \(+\infty\).
A: On peut prendre par exemple
\[f(x)=x^2\hspace{1cm}\mbox{et}\hspace{1cm}g(x)=x\]

Q: Cours
Quel est le seul théorème de croissance comparées en 0 ?
A: On a
[$$]\ln(x)=\petito{x\to 0}{\frac{1}{x}}[/$$]

Q: Cours
Donner le développement limité à l'ordre 2 en \(x=0\) de la fonction \(x\mapsto e^x\)
A: On a
[$$]e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\petito{x\to 0}{x^2}[/$$]

Q: Cours
Donner le développement limité à l'ordre 2 en \(x=0\) de la fonction \(x\mapsto  \ln(1+x)\).
A: On a
[$$]\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\petito{x\to 0}{x^2}[/$$]

Q: Cours
Donner le développement limité à l'ordre 2 en \(x=0\) de la fonction \(x\mapsto (1+x)^\alpha\) où \(\alpha\in\mathbb{R}\)
A: On a
[$$](1+x)^\alpha=1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\petito{x\to 0}{x^2}[/$$]

Q: Cours
La formule de ... permet d'obtenir un développement limité à l'ordre 2 au point \(x=x_0\) de n'importe quelle fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) en \(x_0\).
Cette formule affirme que, pour \(x\) voisin de \(x_0\),
[$]f(x)= \textcolor{blue}{\cdots} +(x-x_0)^2\varepsilon(x)[/$]
où \(\varepsilon\) est une fonction définie au voisinage de \(x_0\) et qui tend vers 0 en \(x_0\).
A: La formule de Taylor-Young permet d'obtenir un développement limité à l'ordre 2 au point \(x=x_0\) de n'importe quelle fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) en \(x_0\).
Cette formule affirme que, pour \(x\) voisin de \(x_0\),
\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+(x-x_0)^2\varepsilon(x)\]
où \(\varepsilon\) est une fonction définie au voisinage de \(x_0\) et qui tend vers 0 en \(x_0\).

Q: Mini exercice
Donner un équivalent et calculer la limite en 0 de la fonction définie par
\(f(x)=\frac{\ln(1+x^2)}{x}\)
A: On a
[$$]\ln(1+x^2)\dsim_{x\to 0}x^2[/$$]
donc en passant au quotient
[$$]f(x)\dsim_{x\to 0}x[/$$]
et on conclut que \(f\) tend vers 0 en 0.

Q: Mini exercice
Donner un équivalent et calculer la limite en 0 de la fonction définie par
\(f(x)=\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}\)
A: On a
[$$]\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\ln(x)}{x}}[/$$]
Il n'y a pas d'équivalent plus simple de \(\ln(x)\) ni de \(x\) en 0. Mais un théorème de croissances comparées montre que \(\frac{\ln(x)}{x}\) tend vers 0.
On conclut donc que \(f\) tend vers \(e\) en 0.

Q: Mini exercice
Donner un équivalent et calculer la limite en 0 de la fonction définie par
\(f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x}\)
A: On a
[$$]1-e^{-x}\dsim_{x\to 0}x[/$$]
Par quotient on obtient que
[$$]f(x)\dsim_{x\to 0}1[/$$]
et que \(f\) tend vers 1.

Q: Mini exercice
Calculer la limite en 0 de la fonction définie par
\(f(x)=\frac{\ln(1-2x)+e^{4x}-1-2x}{x^2}\)
A: On fait un DL à l'ordre 2 du numérateur (on peut vérifier que l'ordre 1 ne suffit pas) :
[$$]\ln(1-2x)+e^{4x}-1-2x=10x^2[/$$]
et on montre ainsi que \(f\) tend vers 10 en 0.

Q: Méthode
Pourquoi n'a-t-on pas le droit de faire une somme d'équivalents ?
Proposer une stratégie alternative.
A: Une somme d'équivalent n'est pas toujours égale à l'équivalent d'une somme. Par exemple
[$$]u_n=n+1 \dsim_{n\to+\infty}n[/$$]
et
[$$]v_n=-n \dsim_{n\to+\infty}{-n}[/$$]
La somme des deux équivalents est 0 ... mais la somme des deux suites est la suite constante égale à 1, qui n'est pas équivalente à 0.
En revanche, on peut utiliser des développements limités à l'ordre 1 qui, eux, sont sommables.

Q: Mini exercice
Écrire un DL à l'ordre 2 en 0 de la fonction
\[f(x)=\sqrt{1-x^2}.\]
A: On a
[$$]f(x)=1-\frac{x^2}{2}+\petito{x\to 0}{x^2}[/$$]

Q: Mini exercice
Besoin de brouillon
Écrire un DL à l'ordre 2 en 0 de la fonction
\[f(x)=\frac{1}{1-\ln(1-x)}.\]
A: On a (après calculs)
[$$]f(x)=1-x+\frac{x^2}{2}+\petito{x\to 0}{x^2}.[/$$]